首先，点乘（标量积）和叉乘（向量积）的定义如下：

点乘：也称为数量积，是两个向量的内积，结果是一个标量。点乘的几何意义可以解释为第一个向量在第二个向量方向上的投影与其自身长度的乘积。点乘的计算公式为：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta$，其中 $\theta$ 是两个向量之间的夹角。

叉乘：也称为向量积，结果是一个新的向量，这个向量垂直于原来的两个向量构成的平面。叉乘的几何意义可以通过右手定则来确定：如果你将右手的四个手指弯曲，使得大拇指指向从第一个向量向第二个向量旋转的方向，那么你的手掌面就会指向叉乘结果向量的方向。叉乘的计算公式为：$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin \theta \, \mathbf{n}$，其中 $\theta$ 是两个向量之间的夹角，$\mathbf{n}$ 是垂直于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 所在平面的单位向量。

接下来，我们来看点乘和叉乘在应用范围上的差异：

点乘：主要应用于线性代数中，用于计算向量在特定方向上的投影长度，以及用于判断两个向量之间的角度。点乘还可以用于归一化处理和求解最大值或最小值等问题。

叉乘：叉乘的应用范围比点乘广泛，它常见于物理学、光学和计算机图形学等领域。叉乘可以用于计算平面的法向量、确定空间中两点的顺序、构建旋转矩阵等。

此外，点乘和叉乘的运算结果不同：

点乘的结果是一个标量，这个标量的大小代表了两个向量在数量上的乘积。而叉乘的结果是一个新的向量，这个向量与原来的两个向量构成的平面垂直。

在图形学中，点乘通常用于判断两个向量是否垂直，或者计算一个向量在某个方向上的投影长度。另一方面，叉乘则常常用于生成法向量，这对于渲染和光照计算非常重要。

总结来说，点乘和叉乘虽然都是向量的运算，但它们有着截然不同的特性。点乘是向量的内积，它保持了向量之间相互作用的数量信息；而叉乘是向量的外积，它提供了向量之间相互作用的空间关系。理解并掌握这两种运算对于解决各类数学和物理问题至关重要。