首先，定义二元函数 f(x, y) 在点 P(x_0, y_0) 的极值为：当 (x, y) 在点 P 的某个邻域内变化时，f(x, y) 的最大值（或最小值）。极值点可以是函数图像上的最高点或最低点，也可以是鞍点（在该点既有局部最大值又有局部最小值）。

求解二元函数极值的基本步骤如下：

1. 计算二阶偏导数；

2. 列出 AC 曲面方程，在这个曲面方程中，A、B、C 分别表示 f_xx、f_xy 和 f_yy；

3. 解析表达式 B^2 - AC，并根据其正负判断是否存在极值；

4. 如果 B^2 - AC > 0，则继续下一步；否则，没有极值点。

5. 对于每个极值点，计算对应的 f_xx、f_yy 和 f_xy；

6. 使用上述计算结果，应用极值判定定理来确定每一个极值点是否为极大值或极小值。

极值判定定理的内容如下：

- 如果 f_xx > 0 并且 f_yy > 0，则 P(x_0, y_0) 是极小值点；

- 如果 f_xx < 0 并且 f_yy < 0，则 P(x_0, y_0) 是极大值点；

- 如果 f_xx 和 f_yy 异号，则 P(x_0, y_0) 是鞍点。

接下来，我们将通过一个具体的例子来演示如何求解二元函数的极值。

例题：求解函数 f(x, y) = x^2 + 2xy - y^2 在其定义域内的极值。

解题步骤如下：

1. 计算一阶偏导数：f_x = 2x + 2y，f_y = 2x - 2y。

2. 令 f_x = 0 和 f_y = 0，解得可能的驻点为 (0, 0) 和 (-1, -1)。

3. 计算二阶偏导数：f_xx = 2，f_yy = 2，f_xy = 2。

4. 代入 AC 曲面方程，得到 B^2 - AC = 2^2 - (2)(2) = 0。

5. 由于 B^2 - AC > 0，因此有可能存在极值点。

6. 将驻点坐标代入极值判定定理，得到：

- 在点 (0, 0) 处，f_xx = 2 > 0，f_yy = 2 > 0，因此 (0, 0) 是极小值点。

- 在点 (-1, -1) 处，f_xx = 2 > 0，f_yy = 2 > 0，因此 (-1, -1) 是极小值点。

因此，函数 f(x, y) = x^2 + 2xy - y^2 的极小值点为 (0, 0) 和 (-1, -1)。

以上就是求解二元函数极值的方法和过程。在实际应用中，可能还会涉及到更多的技术和工具，比如 Lagrange 乘数法、Saddle Point 定理等。