向量和标量

物理学和数学中，向量是一个既有大小又有方向的量，而标量则只有大小没有方向。例如，速度是一个向量，因为它既有大小（例如每小时多少公里）也有方向（例如北或南），而速度的数值（如10公里/小时）就是一个标量。

平面方程

在一个三维空间中，平面可以通过一个点和一个法向量来定义。平面的一般方程形式为 Ax + By + Cz + D = 0，其中 (A, B, C) 是平面的一个法向量，称为法向量ABC，而 D 是常数。这个方程表明，对于平面上任意一点 (x, y, z)，其对应的向量 (A, B, C) 与法向量 ABC 垂直。

点到直线距离

在讨论点到平面的距离之前，我们需要理解点到直线的距离。对于一条直线 L 在二维平面上，其方程可以表示为 y = mx + b，其中 m 是斜率，b 是截距。点 P(x0, y0) 到直线 L 的距离 d 可以通过以下公式计算：

\[ d = \frac{|A\cdot x_0 + B\cdot y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

其中，(A, B, C) 是直线 L 的方向向量，其在 P 点的投影与 L 垂直。

推导点到平面的距离公式

现在我们已经掌握了必要的背景知识，可以开始推导点到平面的距离公式。考虑一个不在平面 \(\Pi\) 上的点 \(P(x_0, y_0, z_0)\)，以及平面 \(\Pi\) 的方程 \(Ax + By + Cz + D = 0\)，其中 (A, B, C) 是平面的法向量。

为了计算点 \(P\) 到平面 \(\Pi\) 的距离，我们可以借鉴点到直线距离公式的思路。首先，过点 \(P\) 作一个与平面 \(\Pi\) 平行的平面，这个平面的法向量与 \(\Pi\) 的法向量平行，即它们是共线的。因此，我们可以将这个新的平面写成 \(Ax + By + Cz + k = 0\)，其中 \(k\) 是一个待定的常数。

现在，由于这个新平面经过点 \(P\)，所以将 \(P\) 的坐标代入方程得到：

\[ A\cdot x_0 + B\cdot y_0 + C\cdot z_0 + k = 0 \]

由此解出 \(k\)：

\[ k = -A\cdot x_0 - B\cdot y_0 - C\cdot z_0 \]

因此，我们得到了过点 \(P\) 与平面 \(\Pi\) 平行的平面方程：

\[ A\cdot x + B\cdot y + C\cdot z = A\cdot x_0 + B\cdot y_0 + C\cdot z_0 \]

这个方程表明，在每一层面上，\(P\) 点的坐标与该层面的坐标之间有一个固定的关系。

接下来，我们注意到点到平面的距离就是在 \(P\) 点处的垂线段长度。由于垂线与平面垂直，其方向向量应与平面的法向量平行。因此，垂线段的长度可以用点到直线距离的公式计算，并且这里的直线指的是包含平面内所有点的集合，其方向向量就是平面的法向量。

于是，点 \(P\) 到平面 \(\Pi\) 的距离 \(d\) 可以表示为：

\[ d = \frac{|A\cdot x_0 + B\cdot y_0 + C\cdot z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

其中，分子是点 \(P\) 与平面 \(\Pi\) 方程中各项系数的代数运算结果，而分母则是法向量的模长。

这个公式表明，点到平面的距离是点与平面之间垂直距离的大小。如果点 \(P\) 在平面上，则距离为零；如果点 \(P\) 不在平面上，则距离为正值，并且与点 \(P\) 作垂线到平面的距离相等。

在物理学、工程学和计算机科学等许多领域，这个公式都有广泛的应用，特别是在空间几何、计算机图形学和机器学习等方面。通过精确计算点到平面的距离，我们可以确定物体之间的间隔、构建复杂的图形模型，以及在算法中处理空间数据结构等问题。

总之，点到平面的距离公式是空间几何中的一个核心概念，它通过简单的数学表达式为我们提供了一种理解和操作三维空间对象的强大工具。